王大珩(1915～ )

[拼音]：Oujilide kongjian

[外文]：Euclidean space

簡稱歐氏空間，是帶有“內積”的實數域上的一類向量空間。“內積”是一個度量概念，有明顯的代數性質，向量的長度和夾角都可以通過向量的內積來表示。所謂內積，是指與實數域R上向量空間E中任意一對向量u、v 惟一對應的實數，這個實數記作(u，v)，並滿足以下條件：

（1）(u，v)=(v，u)，②

③(αu，v)=α(u，v)，④(u，u)≥0，當且僅當u=

0

時(u，u)=0，式中u，u1，u2，v是E 的任意向量，α是任意實數。

一個定義了內積的實數域上的向量空間，稱為歐幾里得空間。例如，設V是解析幾何裡的三維空間，u、v是V 的任意向量，在V 中定義(u，v)=｜u｜·｜v｜cosθ，其中|u|、|v|分別表示u、v的長度，θ表示u和v的夾角。(u，v)滿足內積的全部條件， 所以V是一個歐氏空間。設R是實數域，R 上的n 維向量空間

，定義

，式中

，則Rn成為一個歐氏空間。設E是定義在閉區間 [-1，1]上一切連續實函式所構成的向量空間，定義

，

式中ƒ(t)、g(t)是E中的函式。則E作成一個歐氏空間。

向量的長和夾角

歐氏空間E 的一個向量尣的長，定義為非負實數

，並記作|尣|，即

。

歐氏空間E 的任意兩個非零向量尣 和у 的夾角θ由公式cosθ=(尣，у)/(|尣||у|)來確定。這是解析幾何裡關於兩個向量夾角的自然推廣。著名的柯西－施瓦茲不等式或布雅科夫斯基不等式(尣，у)≤(尣，尣)(у，у)，當且僅當尣與у成比例時等號才成立，保證了上述的夾角定義的合理性。歐氏空間E 的兩個向量尣與у的距離定義為|尣-у|。對於E 的任意三個向量尣、у、z，有通常關於距離的三角形不等式成立：｜尣-z｜≤｜尣-у｜+｜у-z｜。

標準正交基

如果歐氏空間的兩個向量尣與у的內積為零，即(尣，у)=0，那麼尣與у 稱為正交的。在一個歐氏空間裡，與解析幾何的直角座標系相類似的概念是所謂標準正交基。n維歐氏空間E的基e1，e2，…，en，如果滿足條件

那麼e1，e2，…，en稱為E 的一個標準正交基，即E的一組長度為1且兩兩正交的基稱為標準正交基。任何一個n維歐氏空間都有標準正交基。如果e1，e2，…，en是n維歐氏空間E 的一個標準正交基，

，是E的任意向量，那麼

，即在一個標準正交基下，兩個向量的內積等於其對應座標的乘積之和。

歐氏空間的同構

如果兩個歐氏空間E 和E┡，作為實數域上的向量空間是同構的，而且當尣凮尣┡，у凮у┡時有(尣，у)=(尣┡，у┡)，即E 和E┡ 的相對應的向量的內積是相等的，那麼E與E┡稱為同構。任意一個n維歐氏空間都與Rn同構。

酉空間

歐氏空間在複數域上的自然推廣。如果V 是複數域上的一個向量空間，對於V的任意一對向量u、v，有一個確定的複數(u，v)與之對應，且滿足以下條件:(u，v)

，當且僅當u=

0

時等號成立，那麼V 稱為酉空間。這裡u1，u2是V 的向量，α是任意複數，

表示(v，u)的共軛複數。由於有

，所以(u，u)是實數，因而(u，u)≥0有意義。

在一個酉空間裡，也可以把向量u的長｜u｜定義為

，但是不能象在歐氏空間裡那樣來定義兩個向量的夾角，因為一般說來，(u，v)不一定是實數。儘管酉空間裡有向量的長度概念而無夾角概念，然而仍可引入兩個向量正交的概念。如果酉空間的兩個向量u、v的內積為零，即(u，v)=0，那麼u與v稱為正交的。在一個n維酉空間裡，也可以定義標準正交基；而且任一n維酉空間必定存在標準正交基。