岩石

[拼音]：Haimuhuozi fangcheng

[外文]：Helmholtz equation

在數學上具有(墷2+k2)ψ =f形式的雙曲型偏微分方程。式中墷2為拉普拉斯運算元，在直角座標系中為

；ψ為待求函式;k2為常數；f為源函式。當f等於零時稱為齊次亥姆霍茲方程;f不等於零時稱為非齊次亥姆霍茲方程。在電磁學中，當函式隨時間作簡諧變動時，波動方程化為亥姆霍茲方程。例如，在均勻各向同性媒質中，電場和磁場強度滿足下述波動方程

(1)

。 (2)

當一個函式F(x，y，z，t)隨時間作簡諧變動時，可以表成F(x，y，z)ejwt的形式，這時д/дt相當於jω，д2/дt2相當於－ω2，代入式(1)、(2)，並利用電荷與電流之間的連續方程墷·

J

(3)

， (4)

式中k＝ω(με)┩，稱為波數。

在場強的非齊次亥姆霍茲方程中，右邊的源函式比較複雜。若換用電磁勢，源函式可得到簡化。洛倫茲規範下，簡諧變化的

A

(5)

(6)

在沒有源的區域，式(5)、(6)變為齊次亥姆霍茲方程

(7)

(8)

若此區域是有界的，例如在波導中，則因邊界條件的限制，方程的解可以用離散的本徵模式的線性組合來表示。每一模式的係數取決於源函式和待定函式的邊值(見電磁場的邊值問題)。