馬兜鈴酸
[拼音]：bianfenfa
[英文]：calculus of variations
研究泛函的極值的方法。泛函就是函式的函式，給定一個函式集合Y，若對Y中的每一函式y按某一確定的規則J有一確定的實數J[y]與之對應，就說在集合Y上給定了一個泛函J。若泛函J在Y中的y0處取的值J[y0]是J在Y中所有的y處所取值J[y]中的最大（小）的一個，則說J [y0]是最大（小）值，y0稱為最大（小）值函式。設Y┡是Y中在y0附近的函式組成的子集，若J[y0]是J在Y┡上取的最大（小）值，則稱J[y0]是極大（小）值，而y0稱為極大（小）值函式。極大（小）值統稱極值，極大值函式和極小值函式統稱極值函式。變分法的核心問題就是求泛函的極值函式和相應的極值。
變分法的第一個著名例子是最速降曲線問題，它是由約翰第一·伯努利在 1696年以挑戰的口吻向當時的數學家提出的。設O和P是鉛直平面xOy內高度不同的兩點，一質點在重力作用下從O點沿一曲線滑落到P點，假定無摩擦和其他阻力，問曲線呈何形狀時其滑落的時間最短？設滑落曲線方程為y=y(x)，由能量守恆定律和弧長公式可知所需時間為
(1)
y的變化範圍 Y可取為在區間[0，α]上有一階連續導數的函式 y的全體。這一問題第二年就由I.牛頓、G.W.萊布尼茨、G.-F.-A.de洛必達、約翰第一·伯努利和雅各布第一·伯努利解決了。
泛函極值的必要條件
和函式極值類似，變分法的第一個基本問題是確定極值的必要條件，這些條件完全以函式的相應必要條件為基礎。
固定端點問題
最常見最簡單的泛函由積分
(2)
給出，式中F=F(x，y，p)是一個足夠光滑的函式，y的變化範圍是區間 [α0，α1]上所有有一階連續導數且在兩端點分別取定值的函式的集合。設J[y]在y0取極小值，任取一個在α0和α1取零值的函式 η＝η(x)，考慮在函式y＝y0+tη上J取的值
， (3)
得到一個一元函式，它在t=0取極小值，於是由費馬引理得
(4)
式中
等等。(4)式對任意如上的η 均成立，令
(5)
稱它為泛函J[y]在y0的一階變分。(4)式無非是說在極小函式y0處應有
(6)
進行分部積分，得
(7)
變分法基本引理若一個連續函式與足夠多的光滑函式的乘積的積分得零，則此連續函式必恆等於零。由此可得極值函式y0應滿足方程
這一方程稱為尤拉方程，是L.尤拉在1736年用折線逼近曲線得到的。在1744年的一本書中，他用這一方程解決了大量的泛函的極值問題。這本書標誌著變分法作為一個數學分支的誕生。不過這裡採用的是 J.-L.拉格朗日於1755年給出的至今仍然普遍採用的變分方法，其基本點是給極值函式y0以變分η，泛函J[y]相應的變分J[y0]η應為零。
自由端點問題
把相應最速降線問題泛函(1)的尤拉方程的解用常微分方程的方法解出來得到旋輪線。若參與比較的曲線的端點在直線x=α0和x=α1上，但縱座標未知，在對變分(5)分部積分時將會有附加項
η在端點α0和α1的值任意，由此知道
(9)
y自然仍滿足尤拉方程。若曲線的右端點在曲線ƒ(x，y)=0上滑動，則在α1應滿足橫截條件
。 (10)
這類條件是首先由拉格朗日在1760～1761年的一篇文章中得到的。
條件極值問題
若在使與(1)類似的泛函取給定值
(11)
的y中求泛函(1)的極值函式和極值，這就是泛函的條件極值問題。類似於多元函式的拉格朗日乘數法，引入泛函
(12)
則存在常數λ使極值曲線y滿足相應於H的尤拉方程，這一方程和條件(11)一般就能確定y。
最引人注目的條件極值問題是等周問題，即在給定周長l 的平面封閉曲線中選取圍出最大面積的曲線。對封閉曲線採用引數方程
相應周長
相應面積
。
對兩個函式x和y和(8)相應的尤拉方程為
(13)
解之可得曲線形狀為圓周。這一答案是由雅各布第一·伯努利於1701年得到的。在條件(11)之下求泛函極值的問題常冠以等周問題的名字。
另一類條件極值問題中函式y，z服從一個約束
(14)
而求泛函
(15)
的極值，這時存在函式λ(n)使在極值曲線上和函式
(16)
相應的關於y和z的尤拉方程(8)成立。
這類條件極值的典型問題是測地線的問題。在曲面
上求連結兩點A(x0，y0，z0)和B(x1，y1，z1)的最短弧Г：y=y(x)，z=z(x)，弧長
由上述結果可斷言測地線上每一點的主法線與曲面的法線重合。測地線問題由約翰第一·伯努利在1728年向尤拉提出。尤拉當年給出了曲面上測地線微分方程。
泛函極值的充分條件
使泛函的一階變分為零的函式或等價地相應尤拉方程（和適當邊界條件）的解稱為泛函的穩定點。泛函的極值點必是穩定點，但反之未必成立，對數值變數的函式就已如此。變分法的第二個基本問題是尋找應該加在穩定點上的條件以保證它是極值點，此即極值點的充分條件。在穩定點這一條件之外再繼續尋求一定個數的必要條件，然後再檢驗這些必要條件是否保證穩定點就是極值點。在函式極值問題中，ƒ在O處取極小值，必須O是穩定點，即ƒ┡(O)=0，並且二階導數ƒ″(O)≥0，但顯然ƒ″(O)=0不能保證O點是ƒ的極小值點，而嚴格不等式ƒ″(O)>0足以保證O是ƒ的極小值點，這正好與泛函極值相對應。
勒讓德條件
仍以固定端點的泛函(1)的極小問題為例，限制在允許函式的一維空間y0+tη（t為實數）上考慮泛函J，y0是極小值點，η是任一端點為零的光滑函式，已知y0滿足δJ[y0]=0，且使二階變分
這裡二階變分的意義是當η 和η┡的絕對值都很小時，泛函 J[y]在穩定點y0的增量J[y0+η]- J[y]的二次主部。要使(17)成立，一個必要條件是
。(18)
這裡
是把穩定點代入
所得的函式。條件 (18)稱為勒讓德條件。由A.-M.勒讓德在1786年得到，翌年他領悟到這也只不過是個必要條件。建立充分條件的工作，50餘年後由C.G.J.雅可比實現。雅可比條件設強化的勒讓德條件
成立，對二次變分(17)進行分部積分
由常微分方程的特徵值理論可知要(19)式對任意不恆等於零的函式η取正值的充分必要條件是二階微分運算元A的最小特徵值為正數，或方程
(20)
的解在(α0，α1]內沒有零點，除非η呏0。這一條件即所謂雅可比條件。
y與y0差的絕對值的最大值叫做 y和y0的零階距離，y和y0的零階距離及y┡和y奿的零階距離之和叫做 y和y0的一階距離。若對跟y0的一階距離小於某正數的一切函式y都有J[y0]不大於J[y]，則說J在y0取弱極小。勒讓德條件
和雅可比條件一起組成y0是J[y]的弱極小的充分條件。
若對與y0的零階距離小於某個正數的一切函式y有J[y0]不大於J[y]，則說y0取強極小。
希爾伯特不變積分
由於與強極小點比較的函式為多，故應加更強的充分條件。仍以固定端點泛函(2)的極小值問題為例，設xy平面上一區域D的每一點(x，y)有且僅有一條穩定曲線通過，且過點(x，y)的穩定曲線的斜率記作v(x，y)，稱v(x，y)為穩定曲線場的斜率函式。對過點P0(α0，b0)， P1(α1，b1)的所有曲線y=y(x)積分
這個積分稱為希爾伯特不變積分。由穩定曲線滿足的尤拉方程和路徑無關條件可以驗證積分(21)不依賴於曲線y=y(x)。 (21)中的z=z(x，y(x))。
外爾斯特拉斯函式
(21)中的y=y0(x)為連結點P0和P1的穩定曲線時z=z(x，y0(x))=y奿(x)，故
於是對任一連結P0和P1的曲線y有
式中 E (x，y;z，y┡) ＝ F(x，y，y┡)-F(x，y，z)-(y┡-z) Fy┡(x，y，z)由泰勒公式易得，叫做外爾斯特拉斯函式。
強極值的充分條件
若有一圍繞穩定曲線y0=y0(x)的穩定曲線場，且x，y，z獨立變化時
(23)
y0必為極小函式。務必注意(23)和勒讓德條件
的巨大區別。
由於尤拉方程中最高階導數項的係數是
，為使方程有二次連續可微的解y，就需要
在相應區域上永不為零，於是它不改變正負號，從而(23)本質上並非新的額外條件。滿足
恆不為零這一條件的問題稱為正則問題。正則問題的穩定曲線總給出極小值或極大值，視
的符號為正或負而定，恰如在一元函式的情形在穩定點的二階導數不為零和在多元函式的情形在穩定點的二階微分為正定或負定二次型一樣。條件(23)是K.（T.W.）外爾斯特拉斯於1879年獲得的，在1900年D.希爾伯特利用他的不變積分理論給這一充分條件以大大簡化的證明。
數學物理與變分法
物理學中泛函極值問題的提出促進了變分學的建立和發展，而變分學的理論成果則不斷滲透到物理學中。
物理學中的變分原理
P.de費馬從歐幾里得確立的光的反射定律出發提出了光的最小時間原理：光線永遠沿用時最短的路徑傳播。他原先懷疑光的折射定律，但在1661年費馬發現從他的光的最小時間原理能夠推匯出折射定律，不僅消除了早先的懷疑，而且更加堅信他的原理。拉格朗日把變分法用到動力學上。他引進廣義座標q1，q2，…，qn，假定動能T是 q=(q1，q2，…，qn)和孭=(孭1，孭2，…，孭n)的函式，孭表示
。他又假定力有位勢V，V是q的函式，又假定T+V是常量，即能量守恆定律成立，令L=T-V，
稱為作用量，拉格朗日的最小作用原理是說真實的運動使作用量取極小值。通過尤拉方程，拉格朗日建立他的運動方程，據此推出了力學的主要定律，並解決了一些新的問題。這些工作都記載在他在1788年出版的《分析力學》一書中。
W.R.哈密頓把 P.-L.M.de莫佩蒂、尤拉、拉格朗日等人的最小作用原理推進到一個嶄新的階段，提出穩定作用原理。他在1834～1835年的兩篇論文裡，重新考慮S.-D.泊松引進的以拉格朗日命名的函式L=T-V，這裡動能和勢能皆可為時間t，廣義座標q和廣義速度孭的函式，不必假定能量守恆定律，定義作用量
(24)
式中 q在起始和終止時刻 t0和t1時分別取定值P0和P1，哈密頓穩定作用原理斷言，真實運動是使作用穩定的運動。泛函(24)的穩定函式所滿足的尤拉方程便是哈密頓方程，後來雅可比引進適當的變數替換而得到哈密頓－雅可比方程。由哈密頓的穩定作用原理可以推演出各種力學問題的運動規律。這一巨大成功鼓舞人們競相在其他數學物理分支，如彈性力學、電磁理論、相對論、量子理論中求得類似的變分原理。
數學物理問題的變分解法
數學物理中大量存在著的變分原理從一個側面反映了客觀世界的統一性，也體現了人們建立統一的物理規律的渴望。一般說來變分原理對已有的理論是錦上添花。另一方面變分法對解許多實際物理問題也提供了切實可行的方法，例如可用變分法解振動系統的本徵頻率問題、散射問題等。基於變分原理還建立了偏微分方程的弱解的L2理論及相應的有限元解法和其他直接解法。
大範圍變分法
18世紀是變分法的草創時期，建立了極值應滿足的尤拉方程並據此解決了大量具體問題。19世紀人們把變分法廣泛應用到數學物理中去，建立了極值函式的充分條件。20世紀伊始，希爾伯特在巴黎國際數學家大會講演中提到的23個著名數學問題中就有三個與變分法有關，變分法的思想貫穿了R.庫朗和希爾伯特所著的《數學物理方法》一書。而H.M.莫爾斯的大範圍變分法則是20世紀變分法發展的標誌(見莫爾斯理論)。