集合的概念集合的定義是什麼

  集合論的基礎是由德國數學家 康托爾在19世紀70年代奠定的,經過一大批卓越的科學家半個世紀的努力,到20世紀20年代已確立了其在現代數學理論體系中的基礎地位,可以說,現代數學各個分支的幾乎所有成果都構築在嚴格的集合理論上。集合的定義是什麼?以下是小編為大家整理的關於集合的定義,歡迎大家前來閱讀!

  集合的定義

  集合***簡稱集***是數學中一個基本概念,它是集合論的研究物件,集合論的基本理論直到19世紀才被創立。最簡單的說法,即是在最原始的集合論——樸素集合論中的定義,集合就是“一堆東西”。集合裡的“東西”,叫作元素。由一個或多個元素所構成的叫做集合。若x是集合A的元素,則記作x∈A。集合中的元素有三個特徵:1.確定性***集合中的元素必須是確定的***2.互異性***集合中的元素互不相同。例如:集合A={1,a},則a不能等於1***3.無序性***集合中的元素沒有先後之分。***

  集合的概念

  集合是指具有某種特定性質的具體的或抽象的物件彙總成的集體,這些物件稱為該集合的 元素。例如全中國人的集合,它的元素就是每一箇中國人。我們通常用大寫字母如A,B,S,T,...表示集合,而用小寫字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。 若x是集合S的元素,則稱x屬於S,記為x∈S。若y不是集合S的元素,則稱y不屬於S,記為y∉S。一般的我們把含有有限個元素的集合叫做有限集,含無限個元素的集合叫做無限集。

  集合 中不同元素的數目稱為集合 的 基數,記作card*** ***。當其為有限大時,集合 稱為 有限集,反之則為無限集。

  有一類特殊的集合,它不包含任何元素,如 ,我們稱之為 空集,記為 ∅。

  設S,T是兩個集合,如果S的所有 元素都屬於T ,即 , 其中符號 稱為包含,即表示由左邊的 命題可以推出右邊的 命題,則稱S是T的 子集,記為 。顯然,對任何集合S ,都有 。

  如果S是T的一個子集,即 ,但在T中存在一個 元素 x不屬於S ,即 ,則稱S是T的一個 真子集。

  如果兩個集合S和T的元素完全相同,則稱S與T兩個集合 相等,記為S=T 。顯然我們有 其中符號 稱為 當且僅當,表示左邊的 命題與右邊的 命題相互 蘊含,即兩個命題 等價。

  並集定義:由所有屬於集合 或屬於集合 的元素所組成的集合,記作 ∪ ***或 ∪ ***,讀作“ 並 ”***或“ 並 ”***,即 ∪ ={ | ∈ ,或 ∈ }。並集越並越多。

  交集定義:由屬於 且屬於 的相同元素組成的集合,記作A∩B***或 ∩ ***,讀作“ 交 ”***或“ 交 ”***,即 ∩ ={ | ∈ ,且 ∈ }。交集越交越少。

  若 包含 ,則 ∩ = , ∪ =

  相對補集定義:由屬於 而不屬於 的元素組成的集合,稱為 關於 的相對補集,記作 - 或 \ ,即 - ={ | ∈ ,且 ∉ '}

  絕對補集定義: 關於全集合 的相對補集稱作 的絕對補集,記作 '或∁u*** ***或~ 。· '= ; ‘=

  定義:設有集合 ,由集合 所有子集組成的 集合,稱為集合 的冪集。

  定理:有限集 的 冪集的 基數等於2的 有限集 的 基數 次 冪。

  數學分析中,最常遇到的實數集的子集是 區間。

  設a,b***a

  集合表示法

  表示集合的方法通常有三種。

  列舉法就是將集合的元素逐一列舉出來的方式。例如,光學中的三原色可以用集合{紅,綠,藍}表示;由四個字母a,b,c,d組成的集合A可用A={a,b,c,d}表示,如此等等。

  列舉法還包括儘管集合的元素無法一一列舉,但可以將它們的變化規律表示出來的情況。如正整數集 和整數集 可以分別表示為 和 。

  {代表元素|滿足的性質}

  設集合S是由具有某種性質P的元素全體所構成的,則可以採用描述集合中元素公共屬性的方法來表示集合:S={x|P***x***}

  例如,由2的平方根組成的集合B可表示為B={x|x =2}。

  而有理數集 和正實數集 則可以分別表示為 和 。

  N:非負整數集合或 自然數集合{0,1,2,3,…}

  N*或 N+:正整數集合{1,2,3,…}

  Z: 整數集合{…,-1,0,1,…}

  Q: 有理數集合

  Q+:正有理數集合

  Q-:負有理數集合

  R: 實數集合***包括有理數和無理數***

  R+:正實數集合

  R-:負實數集合

  C: 複數集合

  ∅:空集合***不含有任何元素的集合稱為空集合,又叫空集***

  集合特性

  給定一個集合,任給一個元素,該元素或者屬於或者不屬於該集合,二者必居其一,不允許有模稜兩可的情況出現。

  一個集合中,任何兩個元素都認為是不相同的,即每個元素只能出現一次。有時需要對同一元素出現多次的情形進行刻畫,可以使用 多重集,其中的元素允許出現多次。

  一個集合中,每個元素的地位都是相同的,元素之間是無序的。集合上可以定義序關係,定義了序關係後,元素之間就可以按照序關係排序。但就集合本身的特性而言,元素之間沒有必然的序。***參見 序理論***

  交換律: ∩ = ∩ ∪ = ∪

  結合律: ∪*** ∪ ***=***A∪ ***∪ ∩*** ∩ =*** ∩ ∩

  分配對偶律: ∩*** ∪ ***=*** ∩ ***∪*** ∩ *** ∪*** ∩ ***=*** ∪ ***∩*** ∪ ***

  對偶律:*** ∪ ***^ = ^ ∩ ^ *** ∩ ***^ = ^ ∪ ^

  同一律: ∪∅= ∩ =

  求補律: ∪ '= ∩ '=∅

  對合律: ''=

  等 冪律: ∪ = ∩ =

  零一律: ∪ = ∩ =

  吸收律: ∪*** ∩ ***= ∩*** ∪ ***=

  德·摩根律***反演律***:*** ∪ ***'= '∩ ' *** ∩ ***'= '∪ '

  德·摩根律:1.集合 與集合 的交集的 補集等於集合 的補集與集合 的補集的 並集; 2.集合 與集合 的並集的 補集等於集合 的補集與集合 的補集的交集。

  容斥原理***特殊情況***:

  card*** ∪ ***=card*** ***+card*** ***-card*** ∩ ***

  card*** ∪ ∪ ***=card*** ***+card*** ***+card*** ***-card*** ∩ ***-card*** ∩ ***-card*** ∩ ***+card*** ∩ ∩ ***