奧林匹克數學競賽因式分解
因式分解是多項式乘法的逆向運算,是代數恆等變形的基礎,體現了一種化歸的思想.提取公因式法、公式法、二次三項式的 十字相乘法 、分組分解法是因式分解的基本方法,下面是小編為你整理的，一起來看看吧。
十二種方法
1、提公因法
如果一個多項式的各項都含有公因式，那麼就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。
例1、分解因式x-2x-x***2003淮安市中考題***
x-2x-x=x***x-2x-1***
2、應用公式法
由於分解因式與整式乘法有著互逆的關係，如果把乘法公式反過來，那麼就可以用來把某些多項式分解因式。
例2、分解因式a+4ab+4b***2003南通市中考題***
解：a+4ab+4b=***a+2b***
3、分組分解法
要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，並提出公因式a，把它後兩項分成一組，並提出公因式b，從而得到a***m+n***+b***m+n***,又可以提出公因式m+n，從而得到***a+b******m+n***
例3、分解因式m+5n-mn-5m
解：m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n
=***m-5m***+***-mn+5n***
=m***m-5***-n***m-5***
=***m-5******m-n***
4、十字相乘法
對於mx+px+q形式的多項式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為***ax+d******bx+c***
例4、分解因式7x-19x-6
分析：1-3
72
2-21=-19
解：7x-19x-6=***7x+2******x-3***
5、配方法
對於那些不能利用公式法的多項式，有的可以利用將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解。
例5、分解因式x+3x-40
解x+3x-40=x+3x+******-******-40
=***x+***-******
=***x++******x+-***
=***x+8******x-5***
6、拆、添項法
可以把多項式拆成若干部分，再用進行因式分解。
例6、分解因式bc***b+c***+ca***c-a***-ab***a+b***
解：bc***b+c***+ca***c-a***-ab***a+b***=bc***c-a+a+b***+ca***c-a***-ab***a+b***
=bc***c-a***+ca***c-a***+bc***a+b***-ab***a+b***=c***c-a******b+a***+b***a+b******c-a***=***c+b******c-a******a+b***
7、換元法
有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來。
例7、分解因式2x-x-6x-x+2
解：2x-x-6x-x+2=2***x+1***-x***x+1***-6x
=x[2***x+***-***x+***-6
令y=x+,x[2***x+***-***x+***-6
=x[2***y-2***-y-6]
=x***2y-y-10***
=x***y+2******2y-5***
=x***x++2******2x+-5***
=***x+2x+1******2x-5x+2***
=***x+1******2x-1******x-2***
8、求根法
令多項式f***x***=0,求出其根為x,x,x,……x,則多項式可因式分解為f***x***=***x-x******x-x******x-x***……***x-x***
例8、分解因式2x+7x-2x-13x+6
解：令f***x***=2x+7x-2x-13x+6=0
通過綜合除法可知，f***x***=0根為，-3，-2，1
則2x+7x-2x-13x+6=***2x-1******x+3******x+2******x-1***
9、圖象法
令y=f***x***，做出函式y=f***x***的圖象，找到函式圖象與X軸的交點x,x,x,……x，則多項式可因式分解為f***x***=f***x***=***x-x******x-x******x-x***……***x-x***
例9、因式分解x+2x-5x-6
解：令y=x+2x-5x-6
作出其圖象，見右圖，與x軸交點為-3，-1，2
則x+2x-5x-6=***x+1******x+3******x-2***
10、主元法
先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。
例10、分解因式a***b-c***+b***c-a***+c***a-b***
分析：此題可選定a為主元，將其按次數從高到低排列
解：a***b-c***+b***c-a***+c***a-b***=a***b-c***-a***b-c***+***bc-cb***
=***b-c***[a-a***b+c***+bc]
=***b-c******a-b******a-c***
11、利用特殊值法
將2或10代入x，求出數P，將數P分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。
例11、分解因式x+9x+23x+15
解：令x=2，則x+9x+23x+15=8+36+46+15=105
將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7
注意到多項式中最高項的係數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值
則x+9x+23x+15=***x+1******x+3******x+5***
12、待定係數法
首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。
例12、分解因式x-x-5x-6x-4
分析：易知這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。 解：設x-x-5x-6x-4=***x+ax+b******x+cx+d***
=x+***a+c***x+***ac+b+d***x+***ad+bc***x+bd
所以解得
則x-x-5x-6x-4=***x+x+1******x-2x-4***