水文核技術

[拼音]：lianxumo

[外文]：modulus of continuity

刻畫函式的連續性的一種尺度。假設ƒ(x)是定義在閉區間[α，b]上的連續函式，稱

為ƒ的連續模。ω(ƒ，δ)是在 [0，l]上有定義的函式(l=b-α)，並且有如下性質：

（1）當 δ→0時，ω(ƒ，δ)→0；

（2）ω(ƒ，δ)是非負增函式；

（3）ω(ƒ，δ)是半可加的，也即對於

；

（4）ω(ƒ，δ)是δ的連續函式；

（5）對於自然數n，當0≤nδ≤l時，有ω(ƒ，nδ)≤nω（ƒ，δ），對於非整數λ>0，當0≤λδ≤l時，有ω(ƒ，λδ)≤(λ+1)ω(ƒ，δ)。將ω(ƒ，δ)看作連續函式空間上的泛函，則它具有半範數的性質，也即滿足

。連續模不可能太小，對於δ→0，若

，則ƒ是個常數，從而ω(ƒ，δ)恆等於零。

連續模的性質①②和③是本質的，倘若定義在[0，l]上的函式ω(δ)滿足這三個性質，則它必然是[α，b]上的某個連續函式的連續模。故常稱具有性質①②和③的函式為連續模函式。

如果對於任意的x，y∈[α，b]和α≥0，β≥0，α+β=1，函式g(x)滿足不等式α(g(x)+βg(y)≤g(αx+βy)，則稱g在[α，b]上是凹(上凸)的。如果在[0，l]上滿足ω(0)=0的連續的增函式 ω(x)是凹（上凸）的，則它必然是連續模函式。當然，連續模未必是凹的，但是，對於每個連續模函式 ω(x)(0≤x≤l)，都存在凹的連續模函式ω1(x)使得

ω(x)≤ω1(x)≤2ω(x) (0≤x≤l)。

作為連續模的直接推廣是光滑模。設r是自然數，對於[α，b]上的連續函式ƒ(x)，稱