箱魨亞目

[拼音]：LiMan ζhanshu

[英文]：Riemann ξ-function

複變函式

，其中s=σ+it是複數，σ>1。實變數情形的黎曼ζ 函式，L.尤拉早就討論過。利用算術基本定理可以證明：當σ>1時有恆等式

， (*)

式中

表對所有的素數求積。這一著名恆等式是L.尤拉提出的。復變數s的函式ζ(s)是（G.F.）B.黎曼於 1859年發表的“論不大於一個給定值的素數個數”著名論文中第一次提出的，他嚴格證明了：

（1）ζ(s)可解析開拓到全平面，且滿足函式方程

；

（2）除了s=1是一個殘數為1的一次極點外， ζ(s)在整個平面上是正則的；

（3）當σ>1時， ζ(s)沒有零點；

（4）當σ<0時，s=-2，-4，…，-2n，…是它的一級零點，這些零點稱為ζ(s)的“無聊零點”。除此之外， ζ(s)沒有零點。

（5）當0≤σ<1 時， ζ(σ)≠0；

（6）ζ(s)可能有的其他零點一定是都位於帶形區域0≤σ≤1中的復零點，它們稱為“非無聊零點”。此外，他還給出了一些深刻的結果，而為後來的其他人所證明，例如， ⑦在帶形區域0≤σ≤1中ζ(s)有無窮多個復零點，於1893年為 J.（-S.）阿達馬所證明。

（8）設T>0，以N(T)表ζ(s)在矩形0≤σ≤1，0

，於1905年為H.von曼格爾德特所證明。

（9）建立了ζ(s)的非無聊零點與π(x)（不超過x的素數個數）之間的一個關係式，於1894年為曼格爾德特所證明。這一關係式揭示了素數定理與ζ(s)的非無聊零點的分佈有密切關係，指明瞭研究素數定理的方向。

黎曼還在他的這篇著名論文中提出了一個影響深遠的猜測：ζ(s)的所有非無聊零點都位於直線Res＝1/2上，即所謂黎曼假設，簡記作 RH。 1974年N. 萊溫鬆證明了ζ(s)至少有多於1/3的零點位於直線Res=1/2上。 1982年R.P.布倫特等四人證明了ζ(s)在矩形0≤σ≤1， 0≤t≤81702130.19中的零點，全部位於直線Res=1/2上，共有200000001個零點，都是一級零點。但是黎曼這個假設還沒有被證明或被否定。從黎曼假設可推出一系列重要的數論和函式論方面的結果，雖然都是些假設性的(其中有的在後來被證明)，但是這些結果指出了研究ζ(s)零點的重要意義和方向。1896年阿達馬和C.dela瓦萊·普桑各自獨立證明了ζ(s)在直線σ=1上沒有零點，並推出了素數定理。瓦萊-普桑又於1900年證明了存在一個正常數