磚牆
[拼音]：lisan shijian xitong
[英文]：discrete time system
輸入和輸出都是離散時間訊號的系統。例如，數字濾波器就是典型的離散時間系統。離散時間訊號指只在特定時間tk(k為任意整數)取值的訊號。離散時間訊號的幅度可以是有無限精度的，也就是說，它的幅度可以是連續變化的。由於離散時間訊號是用一個序列的數來表示的，所以又稱離散時間序列。如果離散訊號在時間上和幅度上都是離散的，則稱為數字訊號。
離散時間訊號所表示的現象，有的本來就具有離散的性質，有的是由連續時間訊號按一定的時間間隔抽樣得來的抽樣訊號。由確定的時間序列表示的離散時間訊號稱為確定性離散時間訊號。幅度不能預知而只能用隨機變量表示的離散時間訊號稱為隨機離散時間訊號。依一定時間間隔重複變化的確定性離散時間訊號稱為週期性離散時間訊號。不具有周期性的離散時間訊號稱為非週期的離散時間訊號。離散訊號按其維數的多少可以分為一維離散訊號和多維離散訊號。多維離散訊號是指二維和維數更高的離散訊號。
分類
離散時間系統的種類很多，主要有以下幾種。
（1）靜態系統和動態系統:如果系統在時刻t的輸出僅依賴於同一時刻的輸入，例如分壓電阻上的輸出電壓僅依賴於同一時刻的輸入電壓，則這類系統稱為靜態系統。如果系統在時刻t 的輸出一般地依賴於過去的輸入或過去的輸出，則稱為動態系統。這種系統記憶著過去，所以又稱記憶系統。與此相應，靜態系統又稱無記憶系統。離散時間靜態系統常用聯立代數方程組描述；離散時間動態系統在時域中常用差分方程或差分方程組描述。
（2）線性系統：線性離散時間系統指同時具有疊加性和齊次性的系統。疊加性是指當若干個輸入訊號同時作用於系統時，總的輸出訊號等於各個輸入訊號單獨作用時產生的輸出訊號之和。齊次性指輸入訊號乘以某常數時，輸出訊號也相應地乘以同一常數。用差分方程描述線性離散時間動態系統時，須帶有起始狀態。因此，系統的完全響應中既包含著起始狀態為零、僅由輸入引起的響應（稱為零狀態響應），也包含著輸入為零僅由起始狀態引起的響應（稱為零輸入響應）。如果系統的完全響應等於零輸入響應與零狀態響應的疊加，則稱此係統為可分解的。若可分解系統的零狀態響應與輸入之間具有線性性質，零輸入響應與起始狀態之間也具有線性性質，則稱此係統是增量線性的。在習慣上也簡稱為線性系統。
（3）時不變系統：系統的激勵與響應之間的關係與時間起始計算的時刻無關。即，設激勵為χ(n)時產生響應y(n)，如果激勵為χ(n-n0)，則響應為y(n-n0)。這裡n0為延遲的時間或移位的個數。具有這種性質的系統稱為時不變（或移不變）系統。線性時不變系統是用得最為廣泛的系統。實際所遇到的問題雖然嚴格地說來都是非線性的和時變的，但大多數情況可以用線性時不變系統來近似並得到滿意或基本滿意的結果。線性時不變系統使用非常廣泛的原因還在於人們對於線性常係數差分方程的研究已經比較成熟。可以在時域或變換域中進行運算、變換和求解。
（4）穩定系統：當系統接受有界輸入時只產生有界的輸出。反之，如果有界的輸入能導致無界的輸出，則系統是不穩定的。系統的穩定與否只決定於系統本身的結構和引數，並不依賴於輸入和輸出。
（5）因果系統：系統現在的輸出不依賴於系統未來的輸入。例如，差分方程
y(n)＋ay(n－1)＝b0χ(n)＋b1χ(n－1)
描述的系統是因果系統。式中a、b0、b1都是常數。但是，差分方程
y(n)＝χ(n＋1)
描述的系統，它現在的輸出要取決於未來的輸入，所以系統是非因果系統。非因果系統雖然在物理上不能實現，但卻是可以計算的。
此外，離散時間系統還有非線性系統、時變系統等。
數學模型
用於描述離散時間動態系統，說明系統輸入和輸出之間關係的差分方程或差分方程組稱為此係統的數學模型。建立數學模型對於離散時間系統的分析和綜合都很重要。
以離散時間系統來近似連續時間系統為例，說明離散時間系統模型的建立。設一個RC電路，在施加輸入以前電容上的電壓為零。設其輸入電壓為χ(t)，χ(t)為一單位階躍函式，輸出電壓為y(t)。其輸入輸出關係為
(1)
要用計算機求出y(t)，需要將式(1)變為差分方程。令y(t)及χ(t)的抽樣值y(nT)及χ(nT)來代替y(t)及χ(t)，T為抽樣時間間隔，再令
則得
式中
。
將上式簡寫為
(2)
即為所需差分方程。只要T 取得足夠小，符合抽樣定理，則式(2)計算出來的結果相當準確。
離散時間系統的數學模型一般可表示為
(3)
式中ak呏0(k=1，2，…，N)的系統稱為有限衝激響應系統，ak不全為零的系統稱為無限衝激響應系統。式中N 為差分方程的階次，用N 階差分方程描述的系統稱為N 階系統。
單輸入單輸出系統的表示方法稱為輸入輸出表示法。多輸入多輸出系統則需要採用狀態空間表示法（又稱狀態變數法，見電路的狀態變數分析）。有時由於希望瞭解系統的內部情況，即使對單輸入單輸出系統也使用狀態空間表示法。
一個多維離散系統可用多維差分方程來描述。例如，二維離散系統的數學模型為：
分析與綜合
離散時間系統的分析是在系統的數學模型建立之後，用時域或變換域方法對給定系統的求解過程。而系統的綜合則是指設計和構作一個系統，使之逼近預期的轉移函式或單位衝激響應或給定的技術條件。
對於線性時不變離散時間系統的分析可分為時域分析和變換域分析。
（1）時域分析：根據系統的數學模型──差分方程或差分方程組和已知的輸入訊號在時域中直接求解系統的輸出。例如，一個由差分方程
所描述的數字系統，χ(n)為一已知輸入序列，y(n)的起始狀態設為已知的y(-1)， 則這個系統的輸出將為
這種演算法是從y(-1)和χ(0)得出y(0)，再從y(0)及χ(1)得出y(1)，以此類推。這種演算法稱為遞推演算法。遞推演算法在計算機上進行數值計算是很方便的。因此它是時域中常用的演算法之一。
數字系統的輸出也可以用卷積的方法或求解狀態變數的方法求得。在不少情況下時域分析的工作量是很大的。這就促使人們去尋找變換域的分析方法。
（2）變換域分析：將時域中的差分方程或方程組經過Z變換或傅立葉變換，把時域中的卷積運算或矩陣運算變為變換域中的乘法運算或矩陣運算，在變換域中求得結果之後，再經過逆變換得到時域中的結果。變換域分析所用的主要工具為Z變換、離散序列的傅立葉變換(見離散時間系統的傅立葉分析)、 離散傅立葉變換以及訊號流圖等。
系統的綜合可以在時域中進行，也可以在變換域中進行。關於離散時間系統綜合的問題見數字濾波器。
離散時間系統的網路結構
指數字網路用硬體（包括加法器、乘法器和延遲器等基本運算單元）實現時，各基本運算單元的組合和安排，或用軟體實現時的演算法。
由於離散時間系統可以用時域中的差分方程或變換域中的轉移函式來描述，所以實現時所用的結構形式都是可以從差分方程或轉移函式推匯出來的。不同的結構形式使用的基本運算單元的數目常常不同。一般來說，希望實現一個離散時間系統所用的單元(尤其是乘法器)數儘可能的少，這樣，一方面可以提高系統的經濟性，一方面也可以縮短計算所用的時間。另外，還要考慮有限字長效應。所謂有限字長效應是指一個數在暫存器中只佔有限位數所引起的效應。一個數字網路的效能（例如數字濾波器的濾波效能）在其係數和運算乘積用無限精度表示時是符合技術要求的，但在其係數和運算乘積用有限字長表示時，效能就可能變得不符合要求，甚至變成一個不穩定的系統。我們實現離散時間系統時總希望尋找對有效字長敏感度低的結構形式，即離散時間系統的效能對訊號和係數的量化及運算乘積的位數有限不敏感。
離散時間系統的結構基本上分為無限衝激響應系統結構和有限衝激響應系統結構。 式(3)中給出描述離散時間系統的差分方程。對式(3)進行Z變換，可得離散時間系統的轉移函式（見離散時間系統的複頻域分析）
(4)ak(k=1，2，…，N)不全為零的系統為無限衝激響應系統。這種系統的輸出不僅取決於現在和過去的輸入，而且還取決於過去的輸出。無限衝激響應系統的結構常用的有3種形式。
（1）直接實現型:它雖然可從式(4)直接得出，但當階次N 較高時，系統對有限字長效應的敏感度高，故一般不採用。
（2）級聯實現型:即把式(4)的分母分子多項式都分解為因式，從而得到子系統轉移函式的相乘，即
（3）並聯實現型：把式(4)所示的有理式展開為部分分式，以其中的每一項作為一個子系統的轉移函式，從而得到H(z)等於各子系統轉移函式之和，即
式中ak=0(k=1，2，…，N)的系統為有限衝激響應系統，這種系統的輸出只取決於現在和過去的輸入。有限衝激響應系統的結構常用的有直接型、級聯型、線性相位系統型及頻率抽樣結構型等。
離散時間系統的應用
離散時間系統是一個輸入訊號和輸出訊號都是離散序列的系統。在實際使用中進行計算和變換都必須是有限字長的，所以實際的離散時間系統大部分是用於數字訊號處理的數字系統。數字系統常用於一維和二維數字濾波、影象處理和訊號序列的各種變換，以及用於抽樣資料控制系統。自20世紀50年代以來，數字訊號處理技術得到迅速發展，尤其60年代中期以後，由於電子計算機、大規模積體電路和各種離散序列的快速演算法的飛速發展，數字系統的發展迅猛異常。現在它已廣泛用於生物醫學工程、石油勘探、核試驗監測、語音通訊、資料通訊、核物理、數字影象處理、遙感技術等。同時在控制領域中也廣泛地採用了數字系統。數字系統的效能優越，計算精度高，出錯機會少，可靠性好。它既可用硬體實現，又可用軟體實現，所以實現起來很靈活。數字系統能分時複用，所以經濟上也常常是合理的。數字系統可以作成自適應的，系統中的引數可根據需要而自動隨時調整，使系統得出最佳的結果。因此，數字系統的應用已經滲透到各個學科和各個部門。
參考書目
A.V.Oppenheim， A.S.WillskywithIanT.Young， Signals and Systems，Prentice-Hall Inc.，Englewood Cliffs，New Jersey，1983.
鄭君裡、楊為理、應啟珩著：《訊號與系統》，人民教育出版社，北京，1982。