開鬆
[拼音]：xunhuan zheji
[英文]：cyclic convolution
兩個給定的序列分別延拓為週期性序列後，按週期褶積原理對其進行運算，結果也是一個週期性序列。如果僅取其一個週期內的結果，就得到迴圈褶積的序列。設有兩個長度均為N的序列x(n)和h(n)進行褶積，先將它們經週期延拓變為週期序列慜(n)和愢(n)，即
慜(n+kN)＝慜(n) 愢(n+kN)＝愢(n)0≤n≤N
式中k為任意整數，序列x(n)和h(n)可以分別看作週期序列慜(n)和愢(n)在一個週期內的主值序列。
x(n)和h(n)的迴圈褶積定義為
y(n)＝x(n)
n(n)＝
x(l)n(n-l)NRN(n)
n＝0，1，2，…，N-1
其中RN(n)是矩形序列
RN(n)＝
nN是餘數運算表示式，它表示n對N 求餘數。
迴圈褶積的計算過程
現舉例說明迴圈褶積的計算過程。例如，兩個有限長度序列同為矩形序列
x(n)＝n(n)＝
這兩個矩形序列的N點迴圈褶積見圖。這個褶積過程可以理解為序列x(n)分佈在N等分的圓筒壁上，而序列h(n)經卷褶後也分佈在另一個N等分的同心圓筒壁上，每當兩個圓筒停在一定的相對位置時，兩個序列相乘求和即得褶積序列中的一個值。然後將一個圓筒相對於另一個圓筒旋轉移位，依次在不同位置下相乘求和，就得到全部褶積序列。由於序列h(n)是等值的，所以x(n)旋轉時，乘積x(l)h(n-l)的和總是等於N。
如果兩個序列x(n)和h(n)的長度分別為N和M，設x(n)代表訊號序列，h(n)代表線性系統的衝激響應序列，則要求系統輸出是線性褶積
y(n)＝x(n)*h(n)
為了從它們的迴圈褶積得到線性褶積而不發生序列交疊的混淆現象，要將兩序列的長度各擴長為L≥
+N-1，即x(n)只有前N個非零值，後L-N個均為補充的零值;而h(n)只有前M個是非零值，後L-M個均為補充的零值。由此求迴圈褶積，其結果就等於兩序列的線性褶積。
用快速傅立葉變換計算迴圈褶積，當N 較大時，直接計算迴圈褶積的運算量相當大。因此，有必要尋求簡便、快速計算迴圈褶積的變換方法。為此，所用變換的快速結構必須具有若干良好的性質。
（1）迴圈褶積性，即兩個序列的迴圈褶積的變換等於它們各自變換的乘積；
（2）變換是可逆的；
（3）變換是線性的。滿足上述性質的變換方法有傅立葉變換、數論變換等。
當採用快速傅立葉變換(FFT)技術求解褶積時，兩個時域序列的迴圈褶積的離散傅立葉變換 (DFT)等於它們的離散傅立葉變換之乘積，即
Y(k)＝DFT[x(n)
n(n)]＝X(k)
H
(k)對Y(k)求離散傅立葉反變換(IDFT)，即可得到兩個序列的迴圈褶積
y(n)＝IDFT[Y(k)]
由上述計算過程可看出，直接褶積所需乘法運算次數為N2，利用FFT演算法計算迴圈褶積共需要三次FFT運算（計算IDFT所需乘法次數與計算DFT的相同）與N 次乘法，總共需要乘法次數為
所以，N 越長，利用快速變換演算法計算迴圈褶積的優越性越大。通常將迴圈褶積也稱為快速褶積。
參考書目
何振亞著：《數字訊號處理的理論與應用》上冊，人民郵電出版社，北京，1983。
A. V. Oppenheim， R. W. Schafer， Digital Signal Processing， Prentice Hall， Inc.， Englewood Cliffs，New Jersey，1975.