小學數學的思想方法

　　數學思想的學習與實踐是促進學生培養數學思維、提升數學素質、增強主動學習能力增的重要途徑,能夠幫助學生積極參與和獨立思考,下面是小編為你整理的小學數學思想方法，一起來看看吧。

　　小學數學思想方法：符號化思想

　　1.符號化思想的概念

　　數學符號是數學的語言，數學世界是一個符號化的世界，數學作為人們進行表示、計算、推理和解決問題的工具，符號起到了非常重要的作用;因為數學有了符號，才使得數學具有簡明、抽象、清晰、準確等特點，同時也促進了數學的普及和發展;國際通用的數學符號的使用，使數學成為國際化的語言。符號化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。

　　2.如何理解符號化思想

　　數學課程標準比較重視培養學生的符號意識，並提出了幾點要求。那麼，在小學階段，如何理解這一重要思想呢?下面結合案例做簡要解析。

　　第一，能從具體情境中抽象出數量關係和變化規律，並用符號表示。這是一個從具體到抽象、從特殊到一般的探索和歸納的過程。如通過幾組具體的兩個數相加，交換加數的位置和不變，歸納出加法交換律，並用符號表示：a+b=b+a。再如在長方形上拼擺單位面積的小正方形，探索並歸納出長方形的面積公式，並用符號表示：S=ab。這是一個符號化的過程，同時也是一個模型化的過程。

　　第二，理解符號所代表的數量關係和變化規律。這是一個從一般到特殊、從理論到實踐的過程。包括用關係式、表格和圖象等表示情境中數量間的關係。如假設一個正方形的邊長是a，那麼4a就表示該正方形的周長，a²表示該正方形的面積。這同樣是一個符號化的過程，同時也是一個解釋和應用模型的過程。

　　第三，會進行符號間的轉換。數量間的關係一旦確定，便可以用數學符號表示出來，但數學符號不是唯一的，可以豐富多彩。如一輛汽車的行駛時速為定值80千米，那麼該輛汽車行駛的路程和時間成正比，它們之間的數量關係既可以用表格的形式表示，也可以用公式s=80t表示，還可以用圖象表示。即這些符號是可以相互轉換的。

　　第四，能選擇適當的程式和方法解決用符號所表示的問題。這是指完成符號化後的下一步工作，就是進行數學的運算和推理。能夠進行正確的運算和推理是非常重要的數學基本功，也是非常重要的數學能力。

　　3.符號化思想的具體應用

　　數學的發展雖然經歷了幾千年，但是數學符號的規範和統一卻經歷了比較慢長的過程。如我們現在通用的算術中的十進位制計數符號數字0~9於公元8世紀在印度產生，經過了幾百年才在全世界通用，從通用至今也不過幾百年。代數在早期主要是以文字為主的演算，直到16、17世紀韋達、笛卡爾和萊布尼茲等數學家逐步引進和完善了代數的符號體系。

　　4.符號化思想的教學

　　符號化思想作為數學最基本的思想之一，數學課程標準把培養學生的符號意識作為必學的內容，並提出了具體要求，足以證明它的重要性。教師在日常教學中要給予足夠的重視，並落實到課堂教學目標中。要創設合適的情境，引導學生在探索中歸納和理解數學模型，並進行解釋和應用。學生只有理解和掌握了數學符號的內涵和思想，才有可能利用它們進行正確的運算、推理和解決問題。

　　數學符號是人們在研究現實世界的數量關係和空間形式的過程中產生的，它來源於生活，但並不是生活中真實的物質存在，而是一種抽象概括。如數字1，它可以表示現實生活中任何數量是一個的物體的個數，是一種高度的抽象概括，具有一定的抽象性。一個數學符號一旦產生並被廣泛應用，它就具有明確的含義，就能夠進行精確的數學運算和推理證明，因而它具有精確性。數學能夠幫助人們完成大量的運算和推理證明，但如果沒有簡捷的思想和符號的參與，它的工作量及難度也是很大的，讓人望而生畏。一旦簡捷的符號參與了運算和推理證明，數學的簡捷性就體現出來了。

　　如歐洲人12世紀以前基本上用羅馬數字進行計數和運算，由於這種計數法不是十進位制的，大數的四則運算非常複雜，嚴重阻礙了數學的發展和普及。直到12世紀印度數字及十進位制計數法傳入歐洲，才使得算術有了較快發展和普及。數學符號的發展也經歷了從各自獨立到逐步規範、統一和國際化的過程，最明顯的就是早期的數字符號從各自獨立的埃及數字、巴比倫數字、中國數字、印度數字和羅馬數字到統一的阿拉伯數字。數學符號經歷了從發明到應用再到統一的逐步完善的過程，並促進了數學的發展;反之，數學的發展也促進了符號的發展。因而，數學和符號是相互促進發展的，而且這種發展可能是一個慢長的過程。因而，符號意識的培養也應貫穿於數學學習的整個過程中，並需要一定的訓練才能達到比較熟練的程度。

　　小學數學思想方法：化歸思想

　　1.化歸思想的概念

　　人們在面對數學問題，如果直接應用已有知識不能或不易解決該問題時，往往將需要解決的問題不斷轉化形式，把它歸結為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決，把這種思想方法稱為化歸***轉化***思想。

　　從小學到中學，數學知識呈現一個由易到難、從簡到繁的過程;然而，人們在學習數學、理解和掌握數學的過程中，卻經常通過把陌生的知識轉化為熟悉的知識、把繁難的知識轉化為簡單的知識，從而逐步學會解決各種複雜的數學問題。因此，化歸既是一般化的數學思想方法，具有普遍的意義;同時，化歸思想也是攻克各種複雜問題的法寶之一，具有重要的意義和作用。

　　2.化歸所遵循的原則

　　化歸思想的實質就是在已有的簡單的、具體的、基本的知識的基礎上，把未知化為已知、把複雜化為簡單、把一般化為特殊、把抽象化為具體、把非常規化為常規，從而解決各種問題。因此，應用化歸思想時要遵循以下幾個基本原則：

　　***1***數學化原則，即把生活中的問題轉化為數學問題，建立數學模型，從而應用數學知識找到解決問題的方法。數學來源於生活，應用於生活。學習數學的目的之一就是要利用數學知識解決生活中的各種問題，課程標準特別強調的目標之一就是培養實踐能力。因此，數學化原則是一般化的普遍的原則之一。

　　***2***熟悉化原則，即把陌生的問題轉化為熟悉的問題。人們學習數學的過程，就是一個不斷面對新知識的過程;解決疑難問題的過程，也是一個面對陌生問題的過程。從某種程度上說，這種轉化過程對學生來說既是一個探索的過程，又是一個創新的過程;與課程標準提倡培養學生的探索能力和創新精神是一致的。因此，學會把陌生的問題轉化為熟悉的問題，是一個比較重要的原則。

　　***3***簡單化原則，即把複雜的問題轉化為簡單的問題。對解決問題者而言，複雜的問題未必都不會解決，但解決的過程可能比較複雜。因此，把複雜的問題轉化為簡單的問題，尋求一些技巧和捷徑，也不失為一種上策。

　　***4***直觀化原則，即把抽象的問題轉化為具體的問題。數學的特點之一便是它具有抽象性。有些抽象的問題，直接分析解決難度較大，需要把它轉化為具體的問題，或者藉助直觀手段，比較容易分析解決。因而，直觀化是中小學生經常應用的方法，也是重要的原則之一。

　　3.化歸思想的具體應用

　　學生面對的各種數學問題，可以簡單地分為兩類：一類是直接應用已有知識便可順利解答的問題;另一種是陌生的知識、或者不能直接應用已有知識解答的問題，需要綜合地應用已有知識或創造性地解決的問題。如知道一個長方形的長和寬，求它的面積，只要知道長方形面積公式的人，都可以計算出來，這是第一類問題;如果不知道平行四邊形的面積公式，通過割補平移變換把平行四邊形轉化為長方形，推匯出它的面積公式，再計算面積，這是第二類問題。對於廣大中小學生來說，他們在學習數學的過程中所遇到的很多問題都可以歸為第二類問題，並且要不斷地把第二類問題轉化為第一類問題。解決問題的過程，從某種意義上來說就是不斷地轉化求解的過程，因此，化歸思想應用非常廣泛。

　　小學數學思想方法：模型思想

　　1. 模型思想的概念。

　　數學模型是用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物的特徵、數量關係和空間形式的一種數學結構。從廣義角度講，數學的概念、定理、規律、法則、公式、性質、數量關係式、圖表、程式等都是數學模型。數學的模型思想是一般化的思想方法，數學模型的主要表現形式是數學符號表達式和圖表，因而它與符號化思想有很多相通之處，同樣具有普遍的意義。不過，也有很多數學家對數學模型的理解似乎更注重數學的應用性,即把數學模型描述為特定的事物系統的數學關係結構。如通過數學在經濟、物理、農業、生物、社會學等領域的應用，所構造的各種數學模型。為了把數學模型與數學知識或是符號思想明顯地區分開來，本文主要從俠義的角度討論數學模型，即重點分析小學數學的應用及數學模型的構建。

　　2. 模型思想的重要意義。

　　數學模型是運用數學的語言和工具，對現實世界的一些資訊進行適當的簡化，經過推理和運算，對相應的資料進行分析、預測、決策和控制，並且要經過實踐的檢驗。如果檢驗的結果是正確的，便可以指導我們的實踐。如上所述，數學模型在當今市場經濟和資訊化社會已經有比較廣泛的應用;因而，模型思想在數學思想方法中有非常重要的地位，在數學教育領域也應該有它的一席之地。

　　如果說符號化思想更注重數學抽象和符號表達，那麼模型思想更注重數學的應用，即通過數學結構化解決問題，尤其是現實中的各種問題;當然，把現實情境數學結構化的過程也是一個抽象的過程。現行的數學課程標準對符號化思想有明確的要求，如要求學生“能從具體情境中抽象出數量關係和變化規律，並用符號來表示”這實際上就包含了模型思想。

　　但是，課程標準對第一、二學段並沒有明確提出模型思想的要求，只是在第三學段的內容標準和教學建議中明確提出了模型思想，要求在教學中“注重使學生經歷從實際問題中建立數學模型”，教學過程以“問題情境—建立模型—解釋、應用與拓展”的模式展開。如果說小學數學教育工作者中有人關注了模型思想，多數人基本上只是套用第三學段對模型思想的要求進行研究，也很難做到要求的具體化和課堂教學的貫徹落實。

　　據瞭解，即將頒佈的課程標準修改稿與現行的課程標準相比有了較大變化，在課程內容部分中明確提出了“初步形成模型思想”，並具體解釋為“模型思想的建立是幫助學生體會和理解數學與外部世界聯絡的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函式等表示數學問題中的數量關係和變化規律，求出結果、並討論結果的意義。

　　這些內容的學習有助於學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識”。並在教材編寫建議中提出了“教材應當根據課程內容，設計運用數學知識解決問題的活動。這樣的活動應體現‘問題情境─建立模型─求解驗證’的過程，這個過程要有利於理解和掌握相關的知識技能，感悟數學思想、積累活動經驗;要有利於提高發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，增強應用意識和創新意識”。

　　這是否可以理解為：在小學階段，從課程標準的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用，並明確了模型思想的重要意義。這不僅表明了數學的應用價值，同時明確了建立模型是數學應用和解決問題的核心。

　　3. 模型思想的具體應用。

　　數學的發現和發展過程，也是一個應用的過程。從這個角度而言，伴隨著數學知識的產生和發展，數學模型實際上也隨後產生和發展了。如自然數系統1，2，3，…是描述離散數量的數學模型。2000多年前的古人用公式計算土地面積，用方程解決實際問題等，實際上都是用各種數學知識建立數學模型來解決問題的。就小學數學的應用來說，大多數是古老的初等數學的簡單應用，也許在數學家的眼裡，這根本就不是真正的數學模型;不過，小學數學的應用雖然簡單，但仍然是現實生活和進一步學習所不可或缺的。