非晶態材料的結構模型

[拼音]：tufenxi

[外文]：convex analysis

研究凸性的一門學科。它主要由凸集、（凸）多包形和凸函式三部分所組成。所謂凸集，是指一個集A，當x1和x2屬於A則連線x1與x2的線段也屬於A。若A是有限多個點x1，x2，…，xk+1的凸包，即

，則此凸集稱為一(凸)多包形。若(x1，x2，…，xk+1)的維數為k，則此多包形稱為k維單純形。若A為有限多個半閉空間的交，即A＝

，則稱A為一多面集。一個函式ƒ(x)稱為在凸集A上的凸函式，意即當x1和x2屬於A時，不等式

對所有的0 ≤λ≤1都成立。若對所有x1∈A、x2∈A和λ∈[0，1]，上述不等式以嚴格不等號“<”成立，則稱ƒ(x)在A上為嚴格凸的。若將上述不等式的“≤”改為“≥”，則稱ƒ(x)為A上的凹函式，相應的有嚴格凹函式。由於當ƒ(λ)為凹時，－ƒ(x)即為凸的，故凹函式不作為單獨研究的物件。

凸集理論主要包括：分離定理，即兩個無公共內點的凸集必可為一平面分開；支撐定理，即過一凸集A的一邊界點，必可作一平面使A全位於此平面之一側；一凸集到另一凸集的連續對映的性質，例如布勞威爾不動點定理等。此外，關於各種錐的性質、若干個凸集作成的集合的組合性質等也是其研究的課題。

多包形理論主要是研究多包形的代數性質、組合性質和度量性質。代數性質是指有關多包形的維數、基、代數表示式等的情況;組合性質則指有關其頂點數ƒ0，邊數ƒ1，面數ƒ2，…，ƒk（ƒi表示i維面的數目）之間的關係。例如在三維空間中的尤拉定理(ƒ0－ƒ1+ƒ2＝2)即為一例。其基本問題之一是：什麼樣的k+1個正整數ƒ0，ƒ1，…，ƒk分別是一個k+1維多包形的頂點數、邊數和麵數？

凸函式理論主要包括有關凸函式的微分性質（導數、次梯度、次微分）和凸函式列的極限函式(若其存在)的性質，以及對偶性質等等。

雖然某些有關凸性的結果可追溯到18世紀中葉，但是近代的凸分析則在20世紀由H.閔科夫斯基、C.卡拉西奧多裡等人創始的。他們對於多包形作了深入的研究，奠定了有關的基本理論。在20世紀中葉，由於最優化理論的發展，許多的基本理論問題皆涉及到凸性，使凸分析日益受到重視而深入發展。凸性、次梯度等在離散數學方面也受到注意。

參考書目

A.Brondsted，An Introduction to Convex Polytopes，Springer-Verlag， New York， 1983.

R.T.Rockafellar，Convex Analysis，Princeton Univ.Press， Princeton， 1970.