郭文魁

[拼音]：bengou fangcheng

[英文]：constitutive equations

連續介質力學中描述特定物質性質的方程。它建立了特定連續介質的運動學量、動力學量、熱力學狀態之間的某些相互關係。本構關係隨所考慮的具體介質和運動條件而變。

質量、動量、能量守恆律對所有物質都適用，連續介質力學以各種微分方程，如連續方程、運動方程、平衡方程等為主要研究手段。通常，這些方程中的動力學量、運動學量（有時還包括熱力學量），都是未知函式，其數目多於體現上述守恆律的方程的個數。為了求解反映守恆律的方程組，添加了本構方程，使自變數的數目同總的方程數目相等。所以，本構方程是解決連續介質力學問題中的質量、動量、（有時加上）能量守恆定律的必要補充。

客觀上存在的流體、固體多種多樣，運動的環境也千差萬別，為了對問題進行深入的研究，本構方程只能反映介質性質的主要方面，否則使問題過於複雜，理不出頭緒。本構方程規定的介質是客觀物質的力學模型。本構方程必須反映介質和運動環境的主要特點，但又要求簡單，使所列出的方程便於進行數學計算。

常用的並且是最為成熟的用於連續介質力學的本構方程有下列三組：

（1）無粘流體。(1)粘度為零，即η=η┡=0，η和η┡為粘度和第二粘度；(2)應力張量只是壓力p;(3)密度均勻不變，ρ(x，y，z，t)＝常數，或是在密度顯著變化時採用常比熱完全氣體（見流體力學的能量方程）的模型：定容比熱容сv＝常數，定壓比熱容 сp＝常數，p＝ρRT，式中T為熱力學溫度，R為普適氣體常數。單位質量內能e＝сvT，熵S－S0＝сvlnpρ-γ，式中γ為сp/сv，S0為某一約定狀態的熵值。

（2）牛頓流體。(1)粘度η=η(T，p)，函式的具體形式隨流體和溫度範圍而變；(2)應力張量的一部分是壓力p，此外，還加上同粘性和變形率（見流體力學）有關的張量，其分量為

式中Up(U3，U3，U3)為流速

U

，

;(3)rho;(x，y，z，t)=常數，或任何形式的具體狀態方程f1(p，rho;，T)=0，f2(e，p，S)=0。

（3）完全彈性體 （各向同性）。是固體力學中發展得最為成熟的部分，在直角座標系中它的本構方程是應力張量的六個分量 σxx，σyy，σzz，σxy，σyz，σzx同應變張量的六個分量 exx，eyy，ezz，exy，eyz，ezx之間的線性關係，由胡克定律表述

式中E是楊氏模量，v是泊松比，同粘性流體相比，這裡既沒有熱力學量，也沒有對時間的導數。溫度升高會使金屬膨脹而產生應力，要考慮這個效應，就應補充σij=ß(T-T0)，式中的常數ß和線膨脹係數有關。

20世紀20年代開始構造塑性力學的本構方程，這遠比各向同性完全彈性體複雜，現在已經有很多成功的模型， 然而仍待做更多的研究。從50年代起對1300℃以上的空氣、動載荷下土壤（由土、空隙和水組成，又分軟土、硬土等）做了大量研究。對空氣做得很成功，對土壤（尤其是硬土）至今尚待完善。燃燒產物的本構方程，蒸氣和水、煤粉和空氣、煤塊和水等等兩相共存混合物的本構方程，不斷出現的新型材料的本構方程，都是近代很受重視的研究物件。

建立本構方程時既要有理論上的推理、論證，還要有實驗測定的若干常數。在研究和使用本構方程的長期過程中，人們致力於劃清適用條件，闡明理論模型同實際的符合程度。

同一種物質，在不同的條件下又可以針對所考慮的那一類條件，列出適用於該類條件的本構方程。例如，討論水池中波浪，可以用密度rho;＝常數，η＝0，應力張量只是壓力這一流體模型。但討論水中聲音傳播時則必須考慮密度的變化加上絕熱過程的條件。金屬在載荷小、變形小的條件下可以看作各向同性彈性體；金屬在載荷過大、變形過大條件下會呈現塑性以至斷裂，這時，胡克定律就不適用了。