日晷

[拼音]：biaoxiang lilun

[外文]：representation theory

研究量子力學規律的各種表示形式以及這些不同形式之間的變換的理論。微觀粒子體系的狀態（量子態）和力學量的具體表示形式稱為表象。微觀粒子有波動和粒子兩重性質，1926年E.薛定諤從粒子的波動性出發，用波動方程來描述粒子體系的運動規律，解決了許多理論和實際的問題，這種理論就是波動力學。1925年左右，由W.K.海森伯、M.玻恩、W.泡利等從粒子的粒子性出發，用矩陣的形式來描述粒子體系的運動規律，也解決了同樣的問題，這種不同於波動方程的矩陣運算形式的理論稱為矩陣力學。

矩陣力學和波動力學描述客觀規律的形式雖然不同，但是兩者實質上是一致的，它們都是描述同一微觀粒子運動規律的理論。

比較直觀一點，粒子體系的狀態可用位置座標為自變數、時間為參量的波函式ψ(x，t)來描述（以下均考慮一維情況，所得結果易於推廣至三維），|ψ(x，t)|2表示t時刻粒子在位置座標x附近單位體積出現的機率。但是ψ(x，t)可以用動量孨的本徵函式的正交、歸一、完全集{ψp(x)}展開，即

， (1)

式中

，

展開係數

(2)

可見，粒子體系的狀態既可以由已知的 ψ(x，t)來描述，也可以用с(p， t)來描述。ψ(x，t)和с(p， t)是兩種等價的不同表示形式的波函式。ψ (x，t)叫做座標表象（或稱x表象）波函式，с(p，t)叫做動量表象（或稱p表象）波函式。

相似地ψ(x，t)可以用任一力學量孶的本徵函式完全集{Un(x)}(n=1，2，3，…)展開（為了便於說明，設孶的本徵值具有分立譜），即

(3)

展開係數為

(4)

因此，若已知ψ(x，t)，則同樣可以通過式(4)算出an(t)來，用數字集合{an(t)}來描述這個狀態，{an(t)}叫做Q表象波函式。

可見，對於同一狀態，有不同的表示形式，分別都是用一組數字集合（分立的或連續的或兼而有之）來描述狀態，這些不同的表示形式中的每一個叫做一個表象。當要解決某特定問題時，便選取一個特定的Q表象，相當於選取一個特定的座標系。Q表象中的本徵函式正交、歸一、完全集{Un(x)}，是這一表象中的一組基矢(簡稱基)，它相當於座標系中的一組單位向量，而波函式{an(t)}是態向量ψ 在 Q表象中各基矢方向上的投影(一組數字)，這就是表象理論的幾何影象。

表示力學量的算符，在不同表象中也有不同的表示形式。在座標表象中，各種力學量的算符形式是

，

是動量算符。算符

作用在波函式ψ(x，t)上得到另一個新的波函式 Ф(x，t)，即

。 (5)

在Q表象中可將ψ(x，t)和Ф(x，t)分別用孶的本徵函式完全集{Un(x)}展開，展開係數的數字集合{an(t)}和{bn(t)}就是Q表象中分別與ψ(x，t)和Ф(x，t)等價的波函式。利用{Un(x)}正交、歸一的性質，可得到

(6)

式中

(7)

Q表象中的式(6)和座標表象中的式(5)相當，寫成矩陣運算形式時為

即在Q表象中，算符弲的表示形式是把數字集合{Fmn}排成一個方形矩陣，Fmn表示方形矩陣中第n行第m列的元素，即

而波函式ψ(x，t)和Ф(x，t)在Q表象中的表示形式，是把數字集合{an(t)}和{bn(t)}分別排成一個列矩陣，即

對於孶的本徵值具有連續譜的情況，以上的論述仍然成立，只是{Un(t)}、{an(t)}和{bn(t)}等的角注 n要換成連續變化的λ，求和要換成對λ求積分，此時式 (7)寫成

。

仍然把它看作矩陣元， {Fλ'λ}看成方形矩陣，{aλ(t)}和{bλ (t)}看成列矩陣，矩陣的行和列都是連續編號的。

量子力學中採用不同的表象在理論上是完全等價的，而在實際工作中選取什麼表象取決於所討論的問題，表象選得適當可以使問題簡化。

可以用表象理論的幾何影象來說明表象變換。選取一個特定的表象，相當於在抽象的希耳伯特空間中選取一個有一組完全基矢(本徵函式集)的特定的座標系，表象變換相當於座標系的基矢變換，從一個A表象變換到一個B表象，相當於由一組基矢{ψn(x)}（┭的本徵函式集）變到另一組基矢{嗞α(x)}（峺)的本徵函式集），這種變換是通過一個變換矩陣