鈣質海綿綱

[拼音]：xianxing daishu fangchengzu shuzhi jiefa

[英文]：numerical method of linear algebraic equations

計算數學的一個基本組成部分。在自然科學和工程技術的許多問題中，例如結構分析、網路分析、大地測量、資料分析、最優化以及非線性方程組和微分方程數值解等，都常遇到求解線性代數方程組的問題。早在中國古代的《九章算術》中，就已載述瞭解線性方程組的消元法。到19世紀初，西方也有了高斯消元法。然而求解未知數很多的大型線性代數方程組，則是在20世紀中葉電子計算機問世以後才成為可能。如何利用計算機更精確、更有效地解大型線性代數方程組是計算數學研究中的基本性的重要課題之一。

設含有n個未知數、n個方程的方程組為

(1)

式中αij，ƒi(i，j=1，2，…，n)為已知數，其相應的矩陣表示式為

(2)

用矩陣和向量的符號，又可簡記為

A尣=

ƒ

，(3)

式中A為(2)中的n階係數矩陣(αij)；尣、

ƒ

分別為(2)中xi及ƒi構成的n維向量。如果A的行列式detA≠0，則按克拉默法則，式(3)的解為：

xj=detAj/detA，

式中Ai是把A中的第i列元素用ƒ1，ƒ2，…，ƒn代替後所得的矩陣。該法則之功效主要在於其理論意義，若用於數值求解，則因n+1個n階行列式求值的計算量很大而不實用。

在計算實踐中，通常採用的線性代數方程組的數值解法大體上可分為直接法和迭代法兩大類。直接法是在沒有舍入誤差的假設下，經過有限次運算就可得到方程貯a href='http://www.baiven.com/baike/222/323577.html' target='_blank' >櫚木方獾姆椒ǎ綹髦中問降南ā５ㄔ蚴遣扇≈鶇偽平姆椒ǎ嗉創右桓齔跏枷蛄砍齜ⅲ湊找歡ǖ募撲愀袷劍ǖ劍乖煲桓魷蛄康奈耷鈽蛄校浼薏攀欠匠套櫚木方狻Ｖ瘓邢藪渭撲愕貌壞驕方狻Ｊ熘募虻サā⒏咚梗露ā⑺沙詵ǖ榷際舸死唷Ｉ狹街址椒ǜ饔杏湃鋇悖苯臃ㄆ氈槭視茫蠹撲慊薪洗蟮拇媧⒘浚ㄒ蟮拇媧⒘拷閒。匭朐謔樟殘緣靡員Ｖさ那榭魷虜拍蓯褂謾Ｖ苯臃梢鄖蟮鎂方饈侵婦圖撲愎蕉員Ｖさ玫驕方猓撲慊撲愎討械納崛胛蟛釷遣豢殺苊獾模庵治蟛疃越獾木扔跋旎岵換崽螅簿褪羌撲愕命a href='http://www.baiven.com/baike/223/306090.html' target='_blank' >穩定性，是要考慮的問題。對於迭代法，其收斂性則是要考慮的問題。

所以，不論是直接法還是迭代法都要根據方程組的具體性質，例如係數矩陣的稀疏狀態、正定性、對角優勢等等，選擇計算方法和採用諸如稀疏技術、加速收斂等相應措施，才能更為有效地利用計算機得出比較滿意的結果。

參考書目

馮康等編：《數值計算方法》，國防工業出版社，北京，1978。

G.E.Forsythe and C.B.Moler，Computer Solution of Lineαr Algebrαic Systems，Prentice-Hall，Engle-wood Cliffs，New Jersey， 1967.